Question

【題目】已知函數(shù) .
（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）是否存在實數(shù) ,使得函數(shù) 在 上的最小值為 ？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知， .

由 得 ，解得 ，所以函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是 ；

由 得 ，解得 ，所以函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 . 當 時，函數(shù) 有極小值為

（2）解：由（1）可知，當 時， 單調(diào)遞減，當 時， 單調(diào)遞增.

①若 ，即 時，函數(shù) 在 上為增函數(shù)，故函數(shù) 的最小值為 ，顯然 ，故不滿足條件.

②若 ，即 時，函數(shù) 在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，故函數(shù) 的最小值為 ，即 ，解得 ，而 ，故不滿足條件.

③若 ，即 時，函數(shù) 在在 上為減函數(shù)，故函數(shù) 的最小值為 ，即 ，而 不滿足條件，綜上所述，這樣的 不存在

【解析】(1)根據(jù)題意求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)再利用導(dǎo)函數(shù)的正負得出原函數(shù)的增減性。(2)首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由導(dǎo)函數(shù)大于零解出x的取值范圍然后對a分三種情況討論，再利用f ( x ) 在 [ 1 , e ] 上的最小值為 0求出a的值即可。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．