Question

1．函數(shù)y=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}-2}$）的值域為[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 顯然需滿足x²-2≥0，然后根據(jù)$x+\sqrt{{x}^{2}-2}＞0$便可得出x$≥\sqrt{2}$，并且$\sqrt{{x}^{2}-2}≥0$，從而由不等式的性質便可得出$x+\sqrt{{x}^{2}-2}≥\sqrt{2}$，這樣由對數(shù)函數(shù)的單調性便可得出該函數(shù)的值域．

解答 解：解x²-2≥0得，$x≤-\sqrt{2}$，或$x≥\sqrt{2}$；
$x≤-\sqrt{2}$時，$\sqrt{{x}^{2}-2}＜\sqrt{{x}^{2}}=-x$；
∴$x+\sqrt{{x}^{2}-2}＜0$；
∴$x≥\sqrt{2}$，且$\sqrt{{x}^{2}-2}≥0$；
∴$x+\sqrt{{x}^{2}-2}≥\sqrt{2}$；
又函數(shù)y=log₂x為增函數(shù)；
∴$y≥lo{g}_{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2}$；
∴該函數(shù)的值域為$[\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案為：[$\frac{1}{2}，+∞$）．

點評 考查一元二次不等式的解法，對數(shù)中的真數(shù)需滿足大于0，被開方數(shù)大于等于0，能判斷x+$\sqrt{{x}^{2}-2}$的符號，以及不等式的性質，對數(shù)函數(shù)的單調性．