Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²在點（3，f（3））處的切線方程為12x+2y-27=0，且對任意的x∈[0，+∞），f′（x）≤kln（x+1）恒成立．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）=f′（x）+2ln（x+1）在[0，+∞）上的極值；
（Ⅲ）求實數(shù)k的最小值．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出切點坐標(biāo)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù)F（x）=f′（x）+2ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，通過列表分析函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)在[0，+∞）上的極值；
（Ⅲ）求出f'（x）=-x²+x，利用-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；轉(zhuǎn)化為設(shè)g（x）=x²-x+kln（x+1），只需證對于任意的x∈[0，+∞）有g(shù)（x）≥g（0），求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造h（x）=2x²+x+k-1，利用當(dāng)△≤0，△＞0，求出g（x）≥g（0）時，求實數(shù)k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）將x=3代入直線方程得y=-

9

2

，∴27a+9b=-

9

2

①--------------（1分）
f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②--------------（2分）
①②聯(lián)立，解得a=-

1

3

，b=

1

2

∴f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2-------------（4分）
（Ⅱ）F/(x)=

(2x+3)(-x+1)

x+1

--------------（5分）
F′（x）=0⇒x=1--------------（6分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	Γ單增	極大值	Φ單減

--------------（7分）
F（x）的極大值為F（1）=2ln2--------------（8分）
（Ⅲ）f'（x）=-x²+x，∴-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；
即x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
設(shè)g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，-------------（9分）
∴只需證對于任意的x∈[0，+∞）有g(shù)（x）≥g（0）g′(x)=2x-1+

k

x+1

=

2x2+x+k-1

x+1

，x∈[0，+∞)--------------（10分）
設(shè)h（x）=2x²+x+k-1，
1）當(dāng)△=1-8（k-1）≤0，即k≥

9

8

時，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）--------------（12分）
2）當(dāng)△=1-8（k-1）＞0，即k＜

9

8

時，設(shè)x1，

x

2

是方程2x²+x+k-1=0的兩根且x₁＜x₂
由x1+

x

2

=-

1

2

，可知x₁＜0，
分析題意可知當(dāng)

x

2

≤0時對任意x∈[0，+∞）有g(shù)（x）≥g（0）；
∴k-1≥0，k≥1，∴1≤k＜

9

8

綜上分析，實數(shù)k≥1，所以k的最小值為1．--------------（14分）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的極值的求法，單調(diào)性的應(yīng)用，是難度比較大的綜合題目，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．