Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²-ax+b，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若F（x）=f（x）+2-a-a²且f（1）=0且|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)A={1，2}，且A={x|f（x）=x}，得到

1-a+b=1 4-2a+b=2

，從而得到

a=2 b=2

，從而確定其解析式；
（2）分△≤0和△＞0進行討論完成．

解答： 解：（1）∵A={1，2}，且A={x|f（x）=x}．
∴

1-a+b=1 4-2a+b=2

，
∴

a=2 b=2

，
∴f（x）=x²-2x+2．
（2）∵F（x）=f（x）+2-a-a²且f（1）=0，
∴1-a+b=0，
即b=a-1，
∴F（x）=x²-ax+1-a²，
①當(dāng)△≤0，即-

2 5

5

≤a≤

2 5

5

時，則必需

a 2 ≤0 - 2 5 5 ≤a≤ 2 5 5

，
∴-

2 5

5

≤a≤0．
②當(dāng)△＞0，即a＜-

2 5

5

或a＞

2 5

5

時，
設(shè)方程F（x）=0的根為x₁，x₂（x₁＜x₂）．
若

a

2

≥1，則x₁≤0，即

a 2 ≥1 F(0)=1-a2≥0

⇒a≥2；
若

a

2

≤0，則x₂≤0，即

a 2 ≤0 F(0)=1-a2≥0

⇒-1≤a＜-

2 5

5

；
綜上所述：-1≤a≤0或a≥2．
實數(shù)a的取值范圍[-1，0]∪[2，+∞）．

點評：本題重點考查了函數(shù)的解析式求解方法、一元二次方程等知識，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是靈活運用分類討論思想在解題中的應(yīng)用．