Question

3．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x-1|．
（1）作出函數(shù)圖象；
（2）指出其單調(diào)區(qū)間；
（3）寫出函數(shù)值域，并指出當x取何值時，f（x）有最值；
（4）若關(guān)于x的方程f（x）=m有負數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)解析式，化為分段函數(shù)，進而可得函數(shù)圖象；
（2）數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的最值點和值域；
（4）數(shù)形結(jié)合，可得方程f（x）=m有負數(shù)根時m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}（\frac{1}{3}）^{1-x}，x≤1\\（\frac{1}{3}）^{x-1}，x＞1\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

（2）由（1）中函數(shù)圖象可得：
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，1]，
單調(diào)遞減區(qū)間為：[1，+∞），
（3）由（1）中函數(shù)圖象可得：
函數(shù)f（x）的值域為（0，1]，
當x=1時，函數(shù)f（x）取最大值1，
無最小值；
（4）由（1）中函數(shù)圖象可得：
關(guān)于x的方程f（x）=m有負數(shù)根，
m∈（0，$\frac{1}{3}$）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．