Question

6．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，m，n∈R，則（m-2）²+（n-2）²的取值范圍是$（\frac{9}{2}，8）$．

Answer 1

分析 由題意可知m＞0，n＞0，m+n＜1，畫出可行域（m-2）²+（n-2）²表示點(diǎn)C（2，2）到可行域內(nèi)點(diǎn)（m，n）距離平方，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得（m-2）²+（n-2）²的取值范圍．

解答 解：由題意得：m＞0，n＞0，m+n＜1，可行域?yàn)橐粋�(gè)直角三角形OAB內(nèi)部，其中A（1，0），B（0，1），
而（m-2）²+（n-2）²表示點(diǎn)C（2，2）到可行域內(nèi)點(diǎn)（m，n）距離平方，
則C（2，2）到直線m+n=1距離為d$\frac{丨2+2-1丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
因此取值范圍是（d，丨OC丨²），
∴（m-2）²+（n-2）²的取值范圍$（\frac{9}{2}，8）$，
故答案為：$（\frac{9}{2}，8）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的共面的性質(zhì)，考查性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)��?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍．