Question

為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系，在我市某普通中學高中生中隨機抽取200名學生，得到如下2×2列聯(lián)表：

	喜歡數(shù)學課	不喜歡數(shù)學課	合計
男	30	60	90
女	20	90	110
合計	50	150	200

（1）根據(jù)獨立性檢驗的基本思想，約有多大的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課之間有關(guān)系”？
（2）若采用分層抽樣的方法從不喜歡數(shù)學課的學生中隨機抽取5人，則男生和女生抽取的人數(shù)分別是多少？
（3）從（2）隨機抽取的5人中再隨機抽取3人，該3人中女生的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

考點：分層抽樣方法,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）計算K²的值，根據(jù)K²的值大于5.024，可得約有97.5%以上的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課之間有關(guān)系”．
（2）用樣本容量乘以男生所占的比例，可得應(yīng)抽取的男生數(shù)，用樣本容量乘以女生所占的比例，可得應(yīng)抽取的女生數(shù)．
（3）由（2）可知，男生抽取的人數(shù)為2人，女生抽取的人數(shù)為3人，所以ξ的取值為1，2，3，再求出ξ取每一個值的概率，即可求得ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）∵K2=

200(30×90-60×20)2

90×110×50×150

≈6.061＞5.024，
∴約有97.5%以上的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課之間有關(guān)系”．
（2）男生抽取的人數(shù)有：

60

60+90

×5=2（人），
女生抽取的人數(shù)各有：

90

60+90

×5=3（人）．
（3）由（2）可知，男生抽取的人數(shù)為2人，女生抽取的人數(shù)為3人，所以ξ的取值為1，2，3．
∵P(ξ=1)=

C 1 3 C 2 2

C 3 5

=

3

10

，P(ξ=2)=

C 2 3 C 1 2

C 3 5

=

6

10

，P(ξ=3)=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

，
所以ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P（ξ）	3 10	6 10	1 10

所以ξ的數(shù)學期望為Eξ=1×

3

10

+2×

6

10

+3×

1

10

=1.8．

點評：本題主要考查獨立性檢驗、分層抽樣、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題．