Question

12．已知函數(shù)f（x）滿足$f（x+1）=\frac{2f（x）}{f（x）+2}$，f（1）=1，（x∈R，x≠-1）．
（1）分別計算f（2）、f（3）、f（4）的值，并猜函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（不需要證明）
（2）求集合A={x|f（x）＜x}．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)f（x）滿足$f（x+1）=\frac{2f（x）}{f（x）+2}$，f（1）=1，逐項(xiàng)代入可得f（2）、f（3）、f（4）的值，分析函數(shù)值與自變量的關(guān)系，可猜函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）由f（x）＜x，得$\frac{2}{x+1}＜x$，解得集合A．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）滿足$f（x+1）=\frac{2f（x）}{f（x）+2}$，f（1）=1，
∴$f（1）=1=\frac{2}{2}$，
$f（2）=\frac{2f（1）}{f（1）+2}=\frac{2}{3}$，…（1分）
$f（3）=\frac{2f（2）}{f（2）+2}=\frac{{2×\frac{2}{3}}}{{\frac{2}{3}+2}}=\frac{2}{4}$，…（2分）  
$f（4）=\frac{2f（3）}{f（3）+2}=\frac{{2×\frac{2}{4}}}{{\frac{2}{4}+2}}=\frac{2}{5}$，…（3分）
∴猜想：$f（x）=\frac{2}{x+1}$．…（6分）
（2）由f（x）＜x，得$\frac{2}{x+1}＜x$，
∴$\frac{2-x（x+1）}{x+1}＜0$，…（8分）
∴$\frac{{{x^2}+x-2}}{x+1}＞0$，
∴$\frac{（x-1）（x+2）}{x+1}＞0$，
∴（x+2）（x+1）（x-1）＞0，
∴-2＜x＜-1或x＞1，…（13分）
∴集合A={x|-2＜x＜-1或x＞1}．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是歸納推理，函數(shù)求值，解分式不等式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．