Question

2．已知圓C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過點A（a，0）
（1）若A在圓C內(nèi)部，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2時，若圓心為M（1，m）的圓和圓C外切且與直線l₁、l₂都相切，求圓M的方程；
（3）當(dāng)a=-1時，若l₁、l₂被圓C所截得弦長相等，求此時直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）利用點與圓的位置關(guān)系直接寫出結(jié)果即可．
（2）設(shè)出所求的圓的半徑r，利用和已知圓外切及圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為 $\sqrt{2}$r，求出半徑r和m的值，寫出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（3）利用圓的對稱性，直接求出直線的斜率，寫出直線方程即可．

解答 解：（Ⅰ）圓C：（x+2）²+y²=4，圓的圓心坐標(biāo)（-2，0），半徑為：2．
A在圓C內(nèi)部，可得a∈（-4，0）
（2）設(shè)圓M的半徑為r，由于圓M的兩條切線互相垂直，
故圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為$\sqrt{2}$r，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-2）}^{2}+{m}^{2}=2{r}^{2}\\{（1+2）}^{2}+{m}^{2}=（2+r）^{2}\end{array}\right.$，解得r=2，且m=±$\sqrt{7}$，
∴圓M的方程為（x-1）²+（y±$\sqrt{7}$）²=4．
（3）當(dāng)a=-1時，設(shè)圓C的圓心為C，l₁、l₂ 被圓C所截得弦長相等，
由圓的對稱性可知，直線l₁的斜率k=±1，
∴直線l₁的方程為：x-y+1=0或x+y+1=0．

點評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線和圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．