Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_n+n，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{（2n-3）b_n}的前n項和T_n，并證明T_n$∈[-\frac{1}{2}，1）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，可得2（a_n+n）=a_n-1+n-1，結(jié)合條件和等比數(shù)列的定義即可得證；
（Ⅱ）運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，可得前n項和T_n，再由單調(diào)性結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（I）證明：因為S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*），
所以 ①當(dāng)n=1時，2a₁=-1，則a₁=-$\frac{1}{2}$，
②當(dāng)n≥2時，S_n-1+a_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$，
所以數(shù)列{b_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
所以b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（II）證明：由（1）得$（2n-3）{b_n}=\frac{2n-3}{2^n}$．
所以 ①${T_n}=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{2n-5}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n-3}{2^n}$，
②$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{-1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{2n-7}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n-5}{2^n}+\frac{2n-3}{{{2^{n+1}}}}$，
②-①得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{-1}{2}+2（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{1}{2^n}）-\frac{2n-3}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{1}{2}-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
${T_n}=1-\frac{2n+1}{2^n}$，
因為T_n-T_n+1=$\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}-\frac{2n+1}{2^n}=-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$＜0，
所以數(shù)列{T_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
故${T_n}≥{T_1}=-\frac{1}{2}$，又$\frac{2n+1}{2^n}＞0$，故T_n＜1，
綜上$-\frac{1}{2}≤{T_n}＜1$，即T_n$∈[\frac{1}{2}，1）$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義的運用，考查數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，以及數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．