Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx，a，b∈R．
（1）當a=b=1時，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＜0且b=2-a，試討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意的b∈[-2，-1]，均存在x∈（1，e）使得函數(shù)y=f（x）圖象上的點落在

1＜x＜e y＜0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)確定切線的斜率，求出切點坐標，即可求函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負求f（x）的單調(diào)性；
（3）依題意，對?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立，即對?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e），ax²+bx-lnx＜0成立，分離參數(shù)求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當a=b=1時，f（x）=x²+x-lnx，
∴f′（x）=2x+1-

1

x

，f′（1）=2，
∵f（1）=2，∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y-2=2（x-1），即2x-y=0；
（2）f′（x）=2ax+（2-a）-

1

x

=

(ax+1)(2x-1)

x

，
-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2時，f（x）的增區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

），減區(qū)間為（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞）；
-

1

a

=

1

2

，即a=-2時，f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）；
-

1

a

＞

1

2

，即a=-2時，f（x）的增區(qū)間為（

1

2

，-

1

a

，減區(qū)間為（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞）．
（3）依題意，對?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立
即對?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e），ax²+bx-lnx＜0成立，…（10分）
即ax²-x-lnx＜0在（1，e）內(nèi)有解，即a＜

lnx+x

x2

在（1，e）內(nèi)有解，
即a＜(

lnx+x

x2

)max…（11分）
令g(x)=

lnx+x

x2

，則g′(x)=

-x(x-1+2lnx)

x4

，
∵x∈（1，e），∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（1，e）內(nèi)單調(diào)遞減，…（13分）
又g（1）=1，∴a＜1      …（14分）

點評：本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合運用題，解題的關(guān)鍵是熟練利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，切線方程，屬于中檔題．