Question

2．有下列四個命題：
①函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$為奇函數(shù)；
②函數(shù)$y=\sqrt{3-2x-{x^2}}$的值域為{y|y≥0}；
③已知集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，則a的取值集合為$\{-1，\frac{1}{3}\}$；
④定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（2-m）＜f（m），則m∈（-∞，1）；
⑤若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{（{k^2}+4k-5）{x^2}-4（k-1）x+3}}}$的定義域為R，則實數(shù)k∈[1，19）∪{-5}．
其中，正確的命題為①④⑤．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 由函數(shù)奇偶性的定義判斷①；直接求出函數(shù)的值域判斷②；求出滿足A∪B=A的a的值判斷③；由偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合f（2-m）＜f（m）求得m的范圍判斷④；求出使函數(shù)定義域為R的k的范圍判斷⑤．

解答 解：①函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$的定義域為R，且f（-x）=-x-$\frac{1}{x}=-f（x）$，函數(shù)為奇函數(shù)，①正確；
②∵3-2x-x²=-（x+1）²+4≤4，∴0≤$\sqrt{3-2x-{x}^{2}}$≤2，函數(shù)$y=\sqrt{3-2x-{x^2}}$的值域為{y|0≤y≤2}，②錯誤；
③集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，則B⊆A．
a=0時，B=∅滿足；a≠0時，B={$\frac{1}{a}$}，∴$\frac{1}{a}=-1$或$\frac{1}{a}=3$，即a=-1或a=$\frac{1}{3}$．
∴a的取值集合為{0，-1，$\frac{1}{3}$}，③錯誤；
④定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（2-m）＜f（m），則|2-m|＞|m|，解得m∈（-∞，1），④正確；
⑤若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{（{k^2}+4k-5）{x^2}-4（k-1）x+3}}}$的定義域為R，則（k²+4k-5）x²-4（k-1）x+3＞0對任意實數(shù)x恒成立．
當(dāng)k=1時成立；當(dāng)k≠1時，則$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}+4k-5＞0}\\{16（k-1）^{2}-12（{k}^{2}+4k-5）＜0}\end{array}\right.$，解得k∈[1，19），⑤錯誤．
∴正確命題的序號是①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)定義域的求法，屬中檔題．