Question

13．已知O是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{CO}$，則$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 5
• C． 2
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 作出正△ABC，并延長OC到D，使 $\overrightarrow{OD}$=4$\overrightarrow{OC}$，延長OB到E，使 $\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$．可得S_△AOC=$\frac{1}{4}$S_△AOD，同理S_△AOB=$\frac{1}{2}$S_△AOE，因?yàn)椤鰽OE的面積與△AOD的面積都等于平行四邊形OEFD面積的一半，所以S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△AOB，可得 $\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$-4$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{0}$，∴-$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$延長OC到D，使 $\overrightarrow{OD}$=4$\overrightarrow{OC}$，延長OB到E，使 $\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$，以O(shè)D、OE為鄰邊作平行四邊形OEFD，可得 $\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$，∴$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OF}$互為相反向量，得O為AF的中點(diǎn)
∵△AOD中，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OD}$，
∴△AOC的面積S_△AOC=$\frac{1}{4}$S_△AOD，同理可得S_△AOB=$\frac{1}{2}$S_△AOE
∵S_△AOD=S_△AOE=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形OEFD}，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△AOB，可得$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=2
故選：C．

點(diǎn)評 本題給出正三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)O滿足特殊的向量等式，求兩個(gè)小三角形的面積比．著重考查了平面向量的線性運(yùn)算和向量在幾何中的應(yīng)用等知識點(diǎn)，屬于中檔題．