【題目】在四棱錐 中, 平面 , ,底面 是梯形, ,

(1)求證:平面 平面 ;
(2)設 為棱 上一點, ,試確定 的值使得二面角

【答案】
(1)解:∵ 平面 , 平面 , 平面
, ,在梯形 中,過點作
中, ,又在 中,
, ∵ , , ,
平面 , 平面 ,∴ 平面 ,∵ 平面
,∵ 平面 , 平面 ,∴ 平面
平面 ,∴平面 平面

(2)解:

過點 于點 ,過點 于點 ,連 ,由(1)可知 平面 ,∴ 平面 ,∴ ,
,∴ 平面 ,∴ ,∴ 是二面角 的平面角,
,∵ ,∴ ,∵ ,∴
,由(1)知 ,∴ ,又∵ ,∵ ,∴
,∵ ,∴ ;法二:以 為原點, , , 所在直線為 , , 軸建立空間直角坐標系(如圖)

, , ,令 ,則
, ,∵ ,∴ ,
,∵ 平面 ,∴ 是平面 的一個法向量,
設平面 的法向量為 ,則 ,即 ,
不妨令 ,得 ,∵二面角 ,
,解得 , ∵ 在棱 上,∴ ,故 為所求.
【解析】(1)在梯形ABCD中,過點作B作BH⊥CD于H,通過面面垂直的判定定理即得結論;
(2)過點Q作QM∥BC交PB于點M,過點M作MN⊥BD于點N,連QN.則∠QNM是二面角Q-BD-P的平面角,在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=計算即可.

練習冊系列答案
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【題目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司推廣線下分店,計劃在S市的A區(qū)開設分店,為了確定在該區(qū)開設分店的個數(shù),該公司對該市已開設分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開設分店的個數(shù),y表示這x個分店的年收入之和.

x(個)

2

3

4

5

6

y(百萬元)

2.5

3

4

4.5

6


(1)該公司已經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合y與x的關系,求y關于x的線性回歸方程 ;
(2)假設該公司在A區(qū)獲得的總年利潤z(單位:百萬元)與x,y之間的關系為z=y﹣0.05x2﹣1.4,請結合(1)中的線性回歸方程,估算該公司應在A區(qū)開設多少個分店時,才能使A區(qū)平均每個分店的年利潤最大?
(參考公式: ,其中

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【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點、公交站點、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務區(qū)等提供自行車單車共享服務,是共享經(jīng)濟的一種新形態(tài).一個共享單車企業(yè)在某個城市就“一天中一輛單車的平均成本(單位:元)與租用單車的數(shù)量(單位:千輛)之間的關系”進行調查研究,在調查過程中進行了統(tǒng)計,得出相關數(shù)據(jù)見下表:

租用單車數(shù)量x(千輛)

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本y(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個回歸方程,方程甲: (1)= +1.1,方程乙: (2)= +1.6.
(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務:
①完成下表(計算結果精確到0.1)(備注: =yi , 稱為相應于點(xi , yi)的殘差(也叫隨機誤差);

租用單車數(shù)量x(千輛)

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本y(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

模型甲

估計值 (1)

2.4

2.1

1.6

殘差 (1)

0

﹣0.1

0.1

模型乙

估計值 (2)

2.3

2

1.9

殘差 (2)

0.1

0

0

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2 , 并通過比較Q1 , Q2的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.
(2)這個公司在該城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎,共享單車常常供不應求,于是該公司研究是否增加投放.根據(jù)市場調查,這個城市投放8千輛時,該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.6,0.4;投放1萬輛時,該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元的概率分別為0.4,0.6.問該公司應該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤?(按(1)中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本,利潤=收入﹣成本).

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【題目】若ax2+bx+c<0的解集為{x|x<-2,或x>4},則對于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c應有( )
A.f(5)<f(2)<f(-1)
B.f(5)<f(-1)<f(2)
C.f(-1)<f(2)<f(5)
D.f(2)<f(-1)<f(5)

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(2)求證:

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【題目】有如下四個命題:
p1x0∈(0,+∞), <
p2x0 , ;
p3x∈R,2x>x2
p4x∈(1,+∞),
其中真命題是( )
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C.p2 , p3
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