【題目】雙曲線的離心率為2,右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為 。

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)是否存在過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的右支角不同的兩點(diǎn)的直線,當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí),使得點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由。

【答案】(1) (2) 存在這樣的直線滿足條件,其方程為

【解析】試題分析:(1)由點(diǎn)到直線的距離公式可知: ,結(jié)合即可求得,進(jìn)而根據(jù)離心率可得,從而求得方程;

(2)(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l,直線l的斜率不存在時(shí),求得N,P,Q坐標(biāo),由,此時(shí)不滿足條件;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-2),代入雙曲線方程,由韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,即,代入即可求得k的值,求得直線方程.

試題解析:

(1)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0),一條漸近線為bx-ay=0.

由點(diǎn)到直線的距離公式可知: ,由,解得.

由雙曲線的離心率為,解得.

所以,雙曲線的方程為.

(2)因?yàn)?/span>,所以的中點(diǎn),

假設(shè)存在滿足條件的直線,

若直線的斜率不存在時(shí),此時(shí)點(diǎn)即為,可解得

所以,所以,此時(shí)不滿足條件。

若直線的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為,則的方程為,聯(lián)立,

,要使得與雙曲線交于右支的不同的兩點(diǎn),

須要,即,可得,

,所以

又因?yàn)?/span>在直線上的射影為滿足

所以,

所以,

,

可得,又因?yàn)?/span>,所以,即,

所以存在這樣的直線滿足條件,其方程為。

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