14．設(shè)m，n∈（0，+∞），求證：$\frac{mn}{m+n}$$≤\frac{\sqrt{mn}}{2}$．

分析 運(yùn)用分析法證明，結(jié)合不等式的性質(zhì)和完全平方式非負(fù)，即可得到證明．

解答 解：要證$\frac{mn}{m+n}$$≤\frac{\sqrt{mn}}{2}$，
即證$\frac{（mn）^{2}}{（m+n）^{2}}$≤$\frac{mn}{4}$，（m，n＞0），
即有4mn≤（m+n）2，
即為m2+n2-2mn≥0，
即有（m-n）2≥0，
上式顯然成立，且當(dāng)m=n取得等號(hào)．
綜上可得$\frac{mn}{m+n}$$≤\frac{\sqrt{mn}}{2}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法證明，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．求滿足下列條件的曲線方程
（1）已知拋物線頂點(diǎn)是雙曲線16x2-9y2=144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸，求該拋物線的方程．
（2）已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦點(diǎn)，直線y=$\sqrt{3}$x為C的一條漸近線，求雙曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．把下列參數(shù)方程化成普通方程，其中t是參數(shù)：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}+at}\\{y={y}_{1}+bt}\end{array}\right.$；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（p＞0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．一個(gè)袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任取3個(gè)，用ξ表示取出的3個(gè)球中最大編號(hào)，則Eξ=4.5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：（x-x0）2+（y-y0）2=r2作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q，直線OP，OQ的斜率分別記為k1，k2．
（1）若圓M與x軸相切于橢圓C的左焦點(diǎn)，求圓M的方程；
（2）若r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
①求證：k1k2為定值；
②求|OP|•|OQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．（1）已知a，b都是正數(shù)，求證：a5+b5≥a2b3+a3b2．
（2）已知a＞0，證明：$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}≥（a+\frac{1}{a}）-（2-\sqrt{2}）$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．設(shè)正數(shù)a，b，c滿足a+b+c≤3，求證：$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$+$\frac{1}{c+1}$≥$\frac{3}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．設(shè)Sk=$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+$\frac{1}{k+4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$（k≥3，k∈N*），則Sk+1=（　　）
A．Sk+$\frac{1}{2k+1}$B．Sk+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$
C．Sk+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{k+2}$D．Sk-$\frac{1}{2k}$-$\frac{1}{2k+1}$

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同步練習(xí)冊(cè)答案