Question

4．求滿(mǎn)足下列條件的曲線(xiàn)方程
（1）已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)是雙曲線(xiàn)16x²-9y²=144的中心，準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸，求該拋物線(xiàn)的方程．
（2）已知雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦點(diǎn)，直線(xiàn)y=$\sqrt{3}$x為C的一條漸近線(xiàn)，求雙曲線(xiàn)C的方程．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-3，由此能求出拋物線(xiàn)的方程．
（2）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；據(jù)雙曲線(xiàn)的系數(shù)滿(mǎn)足c²=a²+b²；雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a，b，即可寫(xiě)出雙曲線(xiàn)方程．

解答 解：（1）雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），故拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-3，…（1分）
依題意設(shè)拋物線(xiàn)方程為：y²=2px，-$\frac{p}{2}$=-3，即p=6．…（3分）
所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為：y²=12x．…（5分）
（2）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求得兩焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），（6分）
∴對(duì)于雙曲線(xiàn)C：c=2．（7分）
又y=$\sqrt{3}$x為雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，…（8分）
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，（9分）
∴雙曲線(xiàn)C的方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用待定系數(shù)法求圓錐曲線(xiàn)的方程，其中橢圓中三系數(shù)的關(guān)系是：a²=b²+c²，雙曲線(xiàn)中系數(shù)的關(guān)系是：c²=a²+b²，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．