Question

19．已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，其前n項的和為S_n，且2S_n=a_n²+a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n（3^a_n-3）cosnπ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用2S_n=a_n²+a_n．寫出$2{S_{n+1}}=a_{n+1}^2+{a_{n+1}}$，然后作差求出{a_n}是等差數(shù)列，求出通項公式．
（2）利用n是奇數(shù)與偶數(shù)，寫出b_n通項公式，然后按奇數(shù)與偶數(shù)分別求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）因為$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$①，所以$2{S_{n+1}}=a_{n+1}^2+{a_{n+1}}$②，
②-①得$2{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+{a_{n+1}}-{a_n}$，
即（a_n+1-a_n-1）（a_n+1+a_n）=0，因為a_n+1+a_n＞0，
所以a_n+1-a_n=1，從而{a_n}是首項為1，公差為1的
等差數(shù)列，因此a_n=n．
（2）因為${b_n}={a_n}（{3^{a_n}}-3）cosnπ$=$\left\{\begin{array}{l}{-n（{3}^{n}-3），n為奇數(shù)}\\{n（{3}^{n}-3），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$
所以當(dāng)n為偶數(shù)時${T_n}=-（{3^1}-3）+2•（{3^2}-3）-3•（{3^3}-3）+…+n（{3^n}-3）$
=（-3¹+2•3²-3•3³+4•3⁴-5•3⁵+…+n•3ⁿ）+（3-2•3+3•3-4•3+…-3n）．
設(shè)${A_n}=-3+2•{3^2}-3•{3^3}+…+n•{3^n}$，則$-3{A_n}={3^2}-2•{3^3}+3•{3^4}-…-n•{3^{n+1}}$，
所以$4{A_n}=-3+{3^2}-{3^3}+{3^4}-…+{3^n}+n•{3^{n+1}}$=$-\frac{3}{4}+（n+\frac{1}{4}）•{3^{n+1}}$，
即${A_n}=\frac{1}{16}[-3+（4n+1）•{3^{n+1}}]$．
因此${T_n}=\frac{1}{16}[-3+（4n+1）•{3^{n+1}}]+（-\frac{3}{2}n）=\frac{{（4n+1）•{3^{n+1}}-24n-3}}{16}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時 ${T_n}={T_{n-1}}+{b_n}=\frac{{-（4n+1）•{3^{n+1}}+24n+21}}{16}$，
所以T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-（4n+1）•{3}^{n+1}+24n+21}{16}，n為奇數(shù)}\\{\frac{（4n+1）•{3}^{n+1}-24n-3}{16}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，通項公式的求法，數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．