Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點（$\sqrt{2}$，1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點，過P作斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直線l交橢圓C于A，B兩點，求證：|PA|²+|PB|²為定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²=2c²，由a²=b²+c²，得b²=c²，將點點（$\sqrt{2}$，1）代入$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），設(shè)直線l的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-m）與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用兩點間的距離公式即可證明|PA|²+|PB|²為定值．

解答 解：（1）由橢圓方程可知：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，焦點在x軸上，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²=2c²，
由a²=b²+c²，即b²=c²，
將點（$\sqrt{2}$，1）代入$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
解得：b=$\sqrt{2}$，a=2，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
（2）證明：設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），
∴直線l的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-m），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
整理：2x²-2mx+m²-4=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個根，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²，
=（x₁-m）²+$\frac{1}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{1}{4}$（x₂-m）²，
=$\frac{5}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]，
=$\frac{5}{4}$[x₁²+x₂²-2m（x₁+x₂）+2m²]，
=$\frac{5}{4}$[（x₁+x₂）2-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]，
=$\frac{5}{4}$[m²-2m²-m²-4）+2m²]=5（定值）．
∴|PA|²+|PB|²為定值．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、等式的證明，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．