Question

1．在平面直角坐標系中，定義：一條直線經過一個點（x，y），若x，y都是整數，就稱該直線為完美直線，這個點叫直線的完美點，若一條直線上沒有完美點，則就稱它為遺憾直線．現有如下幾個命題：
①如果k，b都是無理數，那么直線y=kx+b一定是遺憾直線；
②“直線y=kx+b是完美直線”的充要條件是“k，b都是有理數”；
③存在恰有一個完美點的完美直線；
④完美直線l經過無窮多個完美點，當且僅當直線l經過兩個不同的完美點．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①②③可利用特殊法求解：如y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$等；
④也可特殊處理使直線過原點，再證明即可．

解答 解：①②：如果k，b都是無理數，如y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$，顯然過（1，0），是完美直線，故①②錯誤；
③設直線方程為y=$\sqrt{2}$x，只經過了一個完美點（0，0），所以③正確；
④設y=kx為過原點的完美直線，若此直線過不同的完美點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），把兩點代入完美直線的方程得y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得y₁-y₂=k（x₁-x₂），則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在完美直線y=kx上，且（x₁-x₂，y₁-y₂）也為完美點，通過這種方法得到直線經過無窮多個完美點，所以④正確．
故答案為D．

點評 本題考查了新定義類型的題型，難點是對定義的認識和理解．