Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=6，a_n+1=[$\frac{5}{4}$a_n+$\frac{3}{4}$$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2}$]，n∈N^*，其中[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₂₀₁₆的個(gè)位數(shù)字是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 通過計(jì)算出前幾項(xiàng)的值找出規(guī)律，進(jìn)而利用放縮法確定規(guī)律，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a₁=6，a_n+1=[$\frac{5}{4}$a_n+$\frac{3}{4}$$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2}$]，
∴a₂=[$\frac{5}{4}$×6+$\frac{3}{4}$×$\sqrt{36-2}$]=11，
a₃=[$\frac{5}{4}$×11+$\frac{3}{4}$×$\sqrt{121-2}$]=21，
a₄=[$\frac{5}{4}$×21+$\frac{3}{4}$×$\sqrt{441-2}$]=41，
a₅=[$\frac{5}{4}$×41+$\frac{3}{4}$×$\sqrt{1681-2}$]=81，
…
a_n+1=[$\frac{5}{4}$a_n+$\frac{3}{4}$$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2}$]＜$\frac{5}{4}$a_n+$\frac{3}{4}$a_n=2a_n，
即從第二項(xiàng)起每項(xiàng)的個(gè)位數(shù)均為1，
故S₂₀₁₆的個(gè)位數(shù)字相加之和為6+（2016-1）=2021，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．