Question

6．如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．
（1）求證：VB∥平面MOC；
（2）求證：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱錐V-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位線得出OM∥VB，利用線面平行的判定定理證明VB∥平面MOC；
（2）證明：OC⊥平面VAB，即可證明平面MOC⊥平面VAB
（3）利用等體積法求三棱錐V-ABC的體積．

解答 （1）證明：∵O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，
∴OM∥VB，
∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O為AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2，OC=1，
∴S_△VAB=$\sqrt{3}$，
∵OC⊥平面VAB，
∴V_C-VAB=$\frac{1}{3}OC$•S_△VAB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V_V-ABC=V_C-VAB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行、平面與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵．