設(shè)A是平面向量的集合，是定向量，對，定義f(
x
)=
x
-2(
a
•
x
)•
a
．現(xiàn)給出如下四個(gè)向量：
①
a
=(0 ， 0)，②
a
=(
2
4
 ， 
2
4
)，③
a
=(
2
2
 ， 
2
2
)，④
a
=(-
1
2
 ， 
3
2
)．
那么對于任意
x
、
y
∈A，使f(
x
)•f(
y
)=
x
•
y
恒成立的向量
a
的序號是
 
（寫出滿足條件的所有向量
a
的序號）．
分析：由于①是零向量代入f（x）檢驗(yàn)是否滿足要求即可；對于一般情況，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出f（x）f（y）；要滿足條件得到
a
2=1，再判斷②③④哪個(gè)滿足即可．
解答：解：對于①當(dāng)
a
=(0 ， 0)時(shí)，f(
x
)=
x
滿足f(
x
)•f(
y
)=
x
•
y

當(dāng)
a≠
0
時(shí)，
f(
x
)•f(
y
)= [
x
-2(
a
•
x
)•
a
][
y
-2(
a
•
y
)•
a
]
=
x
•
y
-4(
a
•
x
)(
a
•
y
)+4(
a
•
x
)(
a
•
y
)
a
2
要滿足f(
x
)•f(
y
)=
x
•
y

需4(
a
•
x
)(
a
•
y
)
a
2= 4(
a
•
x
)(
a
•
y
)
∴
a
2=1
對于③④
a
2=1
故答案為①③④
點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：滿足交換量不滿足結(jié)合律但當(dāng)向量與實(shí)數(shù)相乘時(shí)滿足結(jié)合律．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江門一模）設(shè)V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足f(
a
)=
0
，
a
=
0
1
|
a
|
a
，
a
≠
0
.
，則對?
a
、
b
∈V，?λ∈R，下列結(jié)論恒成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江門一模 題型：單選題

設(shè)V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足f(
a
)=
0
，
a
=
0
1
|
a
|
a
，
a
≠
0
.
，則對?
a
、
b
∈V，?λ∈R，下列結(jié)論恒成立的是（　�。�
A．f(
a
+
b
)=f(
a
)+f(
b
)		B．f（|
a
|•
a
+|
b
|
b
）=f[f（
a
）+f（
b
）]
C．f（|
a
|•
a
）=f（
a
）		D．f（|
b
|•
a
+|
a
|
b
）=f[f（
a
）+f（
b
）]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年廣東省江門市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

設(shè)V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足，則對、，?λ∈R，下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A．
B．f=f[f（）+f（）]
C．f=f（）
D．f=f[f（）+f（）]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)A是平面向量的集合，是定向量，對，定義．現(xiàn)給出如下四個(gè)向量：
①，②，③，④．
那么對于任意、，使恒成立的向量的序號是    （寫出滿足條件的所有向量的序號）．

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