Question

已知A（-2，0），B（2，0），P是圓C：（x+3）²+（y-4）²=9上一動點．
（1）求△PAB的重心G的軌跡；
（2）求|PA|²+|PB|²的最大值，最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓方程的綜合應用

專題：平面向量及應用,直線與圓

分析：（1）設出G與P的坐標，由重心坐標公式把P的坐標用G的坐標表示，代入已知圓的方程得答案；
（2）運用向量的加減與數(shù)量積運算把|PA|²+|PB|²用含有|

OP

|的式子表示，再由|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|求得|

OP

|的范圍得答案．

解答： 解：（1）設G（x，y），P（x₀，y₀），
由重心坐標公式得：

x= -2+2+x0 3 y= y0 3

，則

x0=3x y0=3y

，
代入圓C：（x+3）²+（y-4）²=9，得
（3x+3）²+（3y-4）²=9，即(x+1)2+(y-

4

3

)2=1；
（2）設已知圓的圓心為C，由已知可得：

OA

=(-2，0)，

OB

=(2，0)
∴

OA

+

OB

=0，

OA

•

OB

=-4，
又由中點公式得

PA

+

PB

=2

PO

，
∴|PA|²+|PB|²=|

PA

|2+|

PB

|2=(

PA

+

PB

)2-2

PA

•

PB

=(2

PO

)2-2(

OA

-

OP

)•(

OB

-

OP

)
=4|

PO

|2-2

OA

•

OB

-2|

OP

|2+2

OP

•(

OA

+

OB

)
=2|

OP

|2+8．
又∵

OC

=(3，4)，點P在圓（x-3）²+（y-4）²=4上，
∴|

OC

|=5，|

CP

|=2且

OP

=

OC

+

CP

，
∴|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|，
即3≤|

OP

|≤7，
故26≤|

PA

|2+|

PB

|2=2|

OP

|2+8≤106．
∴|PA|²+|PB|²的最大值為106，最小值為26．

點評：本題考查了代入法求曲線的方程，考查了利用平面向量求解最值問題，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．