Question

10．已知函數(shù)f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1
（1）當(dāng)x＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，得出f（-x）=-f（x），
再根據(jù)x＞0時(shí)f（x）的解析式，求出x＜0時(shí)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）是（-∞，0）上的單調(diào)增函數(shù)即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）；
又x＞0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1，
∴x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）=-$\frac{1}{-x}$+1=$\frac{1}{x}$+1；
∴-f（x）=$\frac{1}{x}$+1，
∴f（x）=-$\frac{1}{x}$-1；
即x＜0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{x}$-1；
（2）證明：任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是（-∞，0）上的單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．