Question

已知關(guān)于x的二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N⁺）的兩根α，β滿足6α-2αβ+6β=3，且a₁=1．
（1）試用a_n表示a_n+1
（2）求證：{a_n-

2

3

}是等比數(shù)列
（3）求數(shù)列的通項公式a_n
（4）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求得α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，代入6α-2αβ+6β=3后整理得答案；
（2）把（1）中的遞推式變形，整理得到{a_n-

2

3

}是等比數(shù)列；
（3）求出（2）中等比數(shù)列的通項公式，進一步得到數(shù)列的通項公式a_n；
（4）把數(shù)列{a_n}的前n項和轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列的前n項和與一個常數(shù)列的前n項和，則答案可求．

解答： （1）解：∵α，β是二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N⁺）的兩根，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

．
代入6α-2αβ+6β=3，得6•

an+1

an

-2

1

an

-3=0．
整理得：an+1=

1

2

an+

1

3

；
（2）由an+1=

1

2

an+

1

3

，得
an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，
∴

an+1- 2 3

an- 2 3

=

1

2

．
∴{a_n-

2

3

}是等比數(shù)列；
（3）∵{a_n-

2

3

}是等比數(shù)列，
且a1-

2

3

═1-

2

3

=

1

3

，
∴an-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1，
an=

1

3

•(

1

2

)n-1+

2

3

；
（4）∵an=

1

3

•(

1

2

)n-1+

2

3

，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

3

[

1-( 1 2 )n

1- 1 2

]+

2n

3

=

2n+2

3

-

2

3

•(

1

2

)n．

點評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項和，考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，是中檔題．