Question

12．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$，則$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$的取值范圍為[2，6]．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，求出$\frac{y}{x}$的范圍，轉(zhuǎn)化所求的表達(dá)式為二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$，的可行域如圖：
$\frac{y}{x}$的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，由可行域可知1≤$\frac{y}{x}$≤k_OA，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，可得A（1，3），k_OA=3．
$\frac{y}{x}$∈[1，3]．
$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$=$（\frac{y}{x}）^{2}-2•\frac{y}{x}$+3=（$\frac{y}{x}-1$）²+2.$\frac{y}{x}-1$∈[0，2]，

$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$∈[2，6]．
故答案為：[2，6]．

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．