Question

17．已知橢圓的左右兩個焦點分別為F₁、F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2，|PF₂|=4．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l過圓x²+y²+4x-2y-4=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程；
（3）若以橢圓的長軸為直徑作圓N，T為該圓N上異于長軸端點的任意點，再過原點O作直線TF₂ 的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線TQ與圓N的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的定義可得2a=6，即a=3，再由勾股定理可得c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程，由韋達定理和中點坐標公式，解方程可得k，進而得到直線AB的方程；
（3）直線TQ與圓N相切．求得橢圓的右焦點和右準線，運用斜率公式，垂直的條件：斜率之積為-1，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），因為點P在橢圓C上，
所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，
解得a=3，
在直角△PF₁F₂中，|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}+|P{F}_{1}{|}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故橢圓的半焦距c=$\sqrt{5}$，
從而b²=a²-c²=9-5=4，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設(shè)A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由圓的方程為（x+2）²+（y-1）²=9，所以圓心M的坐標為（-2，1），
從而可設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程得
（5+9k²）x²+18（2k²+k）x+36（k²+k-1）=0，
因為A，B關(guān)于點M對稱．所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9（2{k}^{2}+k）}{5+9{k}^{2}}$=-2，
解得k=$\frac{10}{9}$，
所以直線l的方程為y=$\frac{10}{9}$（x+2）+1，
即10x-9y+29=0．（經(jīng)檢驗，符合題意）．
（3）直線TQ與圓N相切．證明如下：易得橢圓右焦點為F₂（$\sqrt{5}$，0），右準線為x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
設(shè)點T（x₀，y₀），則有x₀²+y₀²=9，又${k}_{T{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{5}}$，k_OQ=-$\frac{{x}_{0}-\sqrt{5}}{{y}_{0}}$，
∴直線OQ的方程為y=-$\frac{{x}_{0}-\sqrt{5}}{{y}_{0}}$x，令x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，得y=-$\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{2}）}{5{y}_{0}}$，
即Q（$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{2}）}{5{y}_{0}}$），
所以k_TQ=$\frac{{y}_{0}+\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{5{y}_{0}}}{{x}_{0}-\frac{9\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5{{y}_{0}}^{2}+9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{{y}_{0}（5{x}_{0}-9\sqrt{5}）}$=$\frac{5（9-{{x}_{0}}^{2}）+9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{{y}_{0}（5{x}_{0}-9\sqrt{5}）}$=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
又k_OT=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，于是有k_OT•k_TQ=-1，
故OT⊥TQ，∴直線TQ與圓N相切．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和中點坐標公式，同時考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，考查運算能力，屬于中檔題．