Question

6．已知函數(shù)f（x）=cos$\frac{π}{6}x-\sqrt{3}sin\frac{π}{6}$x（0≤x≤5）的圖象過點B（4，m），
（Ⅰ）若角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，其終邊過點B，求sin2α的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把B點坐標代入函數(shù)解析式求得m，進而求得sinα和cosα利用二倍角公式求得sin2α的值．
（Ⅱ）利用x的范圍確定$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{3}$的范圍，利用三角函數(shù)圖象與性質確定函數(shù)的最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)$f（x）=cos\frac{π}{6}x-\sqrt{3}sin\frac{π}{6}x（0≤x≤5）$的圖象過點B（4，m），
∴$m=cos\frac{2π}{3}-\sqrt{3}sin\frac{2π}{3}$=-2，
即點B（4，-2），$|{OB}|=\sqrt{{4^2}+{{（-2）}^2}}=2\sqrt{5}$，
∴$sinα=\frac{-2}{{2\sqrt{5}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cosα=\frac{4}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴$sin2α=2sinαcosα=2•（{-\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）•\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=-\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）$f（x）=2cos（\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}）$，
∵0≤x≤5，
∴$\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}≤\frac{7π}{6}$，
當$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$時，即x=0時，f（x）_max=1，
當$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}=π$時，即x=4時，f（x）_min=-2．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質．注意對一些三角函數(shù)的定義和公式熟練記憶．