Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，且c=2$\sqrt{3}$，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和最值．
（Ⅱ）利用函數(shù)的關(guān)系式，首先根據(jù)三角形的交的他范圍，進(jìn)一步求出C的大小，最后利用正弦和余弦定理求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{cos2x}{2}-1$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1
所以函數(shù)的最小正周期為：$T=\frac{2π}{2}=π$，
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}=2kπ-\frac{π}{2}$時，
即：$x=kπ-\frac{π}{6}$（k∈Z）
函數(shù)f（x）_min=-2．
（Ⅱ）由于f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1
則：$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1$=0，
則：$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
由于：0＜C＜π，
所以：$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
則：$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
解得：$C=\frac{π}{3}$，
由于：sinB=2sinA，
所以：b=2a，
利用余弦定理得：a²+b²-ab=12
所以：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+^{2}-ab=12\\ b=2a\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=4\end{array}\right.$，
所以：b=4，a=2．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用正弦型函數(shù)的解析式求函數(shù)的周期和最值，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的角的大小，正余弦定理的應(yīng)用．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．