Question

2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的半焦距為c，過右焦點且斜率為1的直線與雙曲線的右支交于兩點，若拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$be²（e為雙曲線的離心率），則e的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2}{3}$或3
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線：x=-c，它正好經(jīng)過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點，準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長為：$\frac{2^{2}}{a}$，可得$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$be²，得出a和c的關(guān)系，從而求出離心率的值．

解答 解：∵拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線：x=-c，它正好經(jīng)過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點，
∴準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長為：$\frac{2^{2}}{a}$，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$be²，
即：$\sqrt{2}$c²=3ab，
∴2c⁴=9a²（c²-a²），
∴2e⁴-9e²+9=0
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\sqrt{3}$，
又過焦點且斜率為1的直線與雙曲線的右支交于兩點，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查直線方程、橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系．由圓錐曲線的方程求焦點、離心率、雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系：c²=a²+b²注意雙曲線與橢圓的區(qū)別．