Question

4．若集合P具有以下性質(zhì)：
①0∈P，1∈P； ②若x，y∈P，則x-y∈P，且x≠0時，$\frac{1}{x}$∈P．
則稱集合P是“Γ集”，則下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． 整數(shù)集Z是“Γ集”
• B． 有理數(shù)集Q是“Γ集”
• C． 對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，則必有xy∈P
• D． 對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，則必有$\frac{y}{x}∈P$

Answer 1

分析 A．當(dāng)x=2時，$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$∉Z，即可判斷出正誤；
B．?x，y∈P，則x-y∈P，且x≠0時，$\frac{1}{x}$∈P，即可判斷出正誤；
C．由已知可得：?x，y∈P，則x-y∈P，可得x+y∈P．若x，y中有0或1時，顯然xy∈P．下設(shè)x，y均不為0，1．由定義可知：x-1，$\frac{1}{x-1}$，$\frac{1}{x}$∈P．可得$\frac{1}{x（x-1）}$∈P．從而得到x²∈P．2xy=（x+y）²-x²-y²∈A．于是$\frac{1}{2xy}$∈P．$\frac{1}{xy}$=$\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}$∈P，可得 xy∈P．
D．對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，則$\frac{1}{x}$∈P，由C可知：必有$\frac{1}{x}•y$=$\frac{y}{x}∈P$，即可判斷出正誤．

解答 解：A．當(dāng)x=2時，$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$∉Z，所以整數(shù)集Z不是“Γ集”；
B．?x，y∈P，則x-y∈P，且x≠0時，$\frac{1}{x}$∈P，因此有理數(shù)集Q是“Γ集”；
C．由已知可得：?x，y∈P，則x-y∈P，取x=0，可得-y∈P，∴x-（-y）=x+y∈P．
若x，y中有0或1時，顯然xy∈P．
下設(shè)x，y均不為0，1．由定義可知：x-1，$\frac{1}{x-1}$，$\frac{1}{x}$∈P．∴$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$∈A，即$\frac{1}{x（x-1）}$∈P．∴x（x-1）∈P．因此x（x-1）+x∈P，即x²∈P．
同理可得y²∈P．若x+y=0或x+y=1，則顯然（x+y）²∈P．若x+y≠0，或x+y≠1，則（x+y）²∈P．∴2xy=（x+y）²-x²-y²∈A．∴$\frac{1}{2xy}$∈P．$\frac{1}{xy}$=$\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}$∈P，
∴xy∈P．即C為真命題．
D．對任意的一個“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，則$\frac{1}{x}$∈P，由C可知：必有$\frac{1}{x}•y$=$\frac{y}{x}∈P$，因此正確．
綜上可知：只有A不正確．
故選：A．

點評 本題考查了新定義、集合的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．