Question

5．函數(shù)g（x）=log₂x（x＞$\frac{1}{2}$）關(guān)于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，4-2$\sqrt{7}$）∪（4+2$\sqrt{7}$，+∞）
• B． （4-2$\sqrt{7}$，4+2$\sqrt{7}$）
• C． （-$\frac{3}{2}$，-$\frac{4}{3}$）
• D． （-$\frac{3}{2}$，-$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 由題意|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0在x＞$\frac{1}{2}$內(nèi)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解可化為t²+mt+2m+3=0有兩個(gè)根，分別在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；從而分別討論即可．

解答 ∵g（x）=log₂x在x＞$\frac{1}{2}$上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞-1，令t=|g（x）|
故|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0在x＞$\frac{1}{2}$內(nèi)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解可化為
t²+mt+2m+3=0有兩個(gè)根，分別在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；
當(dāng)若在（0，1），{0}上，則2m+3=0，則m=-$\frac{3}{2}$；
故t=0或t=$\frac{3}{2}$＞1，
不成立；
若在（0，1），{1}上，
則1+m+2m+3=0，
故m=-$\frac{4}{3}$；
故t²+mt+2m+3=0的解為t=$\frac{1}{3}$或t=1，成立；
若在（0，1），（1，+∞）上，
則△=m2-4（2m+3）＞0，
f（1）=2m+3+m+1＜0；
f（0）=2m+3＞0，
解得-$\frac{3}{2}$＜m＜-$\frac{4}{3}$；
故答案為：（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{4}{3}$]；
故答案為D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．