Question

12．如圖，直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁，M為AB的中點，D在A₁B₁上且A₁D=3DB₁．
（Ⅰ）求證：平面CMD⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角C-BD-M的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出CM⊥AB，CM⊥AA₁，從而CM⊥平面ABB₁A₁，由此能證明平面CMD⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-BD-M的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）∵直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，M為AB的中點，D在A₁B₁上且A₁D=3DB₁．
∴CM⊥AB，AA₁⊥平面ABC，CM?平面ABC，
∴CM⊥AA₁，
又AA₁∩AB=A，
∴CM⊥平面ABB₁A₁，
∵CM?平面CMD，∴平面CMD⊥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)AC=BC=CC₁=4，則C（0，0，0），B（0，4，0），D（1，3，4），M（2，2，0），
$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，4），$\overrightarrow{BC}$=（0，-4，0），$\overrightarrow{BM}$=（2，-2，0），
設(shè)平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x-y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-4y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
設(shè)平面BDM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=a-b+4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=2a-2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
設(shè)二面角C-BD-M的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{2}•\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．
$θ=arccos\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
∴二面角C-BD-M的大小為arccos$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．