Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求證：PD∥平面EAC；
（2）求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出△AOB∽△DOC，從而$\frac{BE}{PE}$=$\frac{BO}{DO}$，進(jìn)而OE∥PD，由此能證明PD∥平面EAC．
（2）取CD中點(diǎn)F，連結(jié)AF，以A為原點(diǎn)，AF為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-EC-B的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE
∵底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴△AOB∽△DOC，∴$\frac{OB}{DO}$=$\frac{AB}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB，
∴$\frac{BE}{PE}$=$\frac{BO}{DO}$，∴OE∥PD，
∵PD?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PD∥平面EAC．
（2）取CD中點(diǎn)F，連結(jié)AF，
∵在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，
AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴PA⊥AC，四邊形ABCF是正方形，
以A為原點(diǎn)，AF為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），C（1，1，0），E（$\frac{2}{3}$，0，$\frac{1}{3}$），B（0，1，0），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{2}{3}，0，\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{2}{3}，-1，\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
設(shè)平面BEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}a-b+\frac{1}{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，3），
設(shè)二面角A-EC-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{6}•\sqrt{10}}$=$\frac{7\sqrt{15}}{30}$．
∴二面角A-EC-B的余弦值為$\frac{7\sqrt{15}}{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用