Question

19．在平面直角坐標系xOy中，向量$\overrightarrow{OA}$=（0，3），向量$\overrightarrow{OB}$=（4，3），若已知向量$\overrightarrow{OC}$=λ$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$+$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$（λ∈R，λ＞0），則|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{5}$，則C點的坐標為（$\frac{4}{5}$，$\frac{\sqrt{109}}{5}$）．

Answer 1

分析 先根據向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐標，求出$|\overrightarrow{OA}|=3，|\overrightarrow{OB}|=5$，從而得到$\overrightarrow{OC}=（\frac{4}{5}，λ+\frac{3}{5}）$，根據向量長度$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$，即可得到$5=（\frac{4}{5}）^{2}+（λ+\frac{3}{5}）^{2}$，解該方程，并取λ＞0解，這樣即可得出$\overrightarrow{OC}$的坐標，從而得出點C的坐標．

解答 解：根據條件，$|\overrightarrow{OA}|=3，|\overrightarrow{OB}|=5$；
∴$\overrightarrow{OC}=\frac{λ}{3}•（0，3）+\frac{1}{5}•（4，3）=（\frac{4}{5}，λ+\frac{3}{5}）$；
又$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$；
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}=\frac{16}{25}+{λ}^{2}+\frac{6}{5}λ+\frac{9}{25}=5$；
解得$λ=\frac{-3±\sqrt{109}}{5}$；
∵λ＞0；
∴$λ=\frac{-3+\sqrt{109}}{5}$；
∴$\overrightarrow{OC}=（\frac{4}{5}，\frac{\sqrt{109}}{5}）$；
∴C點的坐標為（$\frac{4}{5}，\frac{\sqrt{109}}{5}$）．
故答案為：（$\frac{4}{5}$，$\frac{\sqrt{109}}{5}$）．

點評 考查根據向量的坐標求向量的長度，向量坐標的數乘即加法運算，數量積的坐標運算，以及解一元二次方程，清楚向量坐標和對應點的坐標的關系．