Question

10．已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，求通項公式a_n．

Answer 1

分析 由遞推公式求出數(shù)列的前4項，總結(jié)規(guī)律，猜想出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴${a}_{2}=\frac{2×1}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，${a}_{3}=\frac{2×\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+2}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4}$，
${a}_{4}=\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{2}{5}$，…
由此猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{2}{1+1}$=1，成立．
②假設(shè)n=k時，成立，即a_k=$\frac{2}{k+1}$，
則${a}_{k+1}=\frac{2{a}_{k}}{{a}_{k}+2}$=$\frac{\frac{4}{k+1}}{\frac{2}{k+1}+2}$=$\frac{4}{2+2（k+1）}$=$\frac{2}{（k+1）+1}$，成立，
∴${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
∴通項公式a_n=$\frac{2}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意合理猜想和數(shù)學(xué)歸納法的靈活運用．