Question

14．某中學將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人，陳老師采用A，B兩種不同的教學方式分別在甲、乙兩個班進行教改實驗，為了了解教學效果，期末考試后，陳老師對甲、乙兩個班級的學生成績進行統(tǒng)計分析，畫出頻率分布直方圖（如圖）．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．

（1）從乙班隨機抽取2名學生的成績，記“成績優(yōu)秀”的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為：“成績優(yōu)秀”與教學方式有關(guān)．

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	總計
成績優(yōu)秀
成績不優(yōu)秀
總計

附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

P（K2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖，得乙班“成績優(yōu)秀”人數(shù)為4，ξ可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由頻率分布直方圖得甲班成績優(yōu)秀、成績不優(yōu)秀的人數(shù)分別為12，38，乙班成績優(yōu)秀、成績不優(yōu)秀的人數(shù)分別為4，46，作出列聯(lián)表，求出K²的觀測值，由此能判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為：“成績優(yōu)秀”與教學方式有關(guān)．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得乙班“成績優(yōu)秀”人數(shù)為4，ξ可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{46}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{207}{245}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{46}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{184}{1225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{6}{1225}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{207}{245}$	$\frac{184}{1225}$	$\frac{6}{1225}$

∴Eξ=$0×\frac{207}{245}+1×\frac{184}{1225}+2×\frac{6}{1225}$=$\frac{4}{25}$．
（2）由頻率分布直方圖得甲班成績優(yōu)秀、成績不優(yōu)秀的人數(shù)分別為12，38，
乙班成績優(yōu)秀、成績不優(yōu)秀的人數(shù)分別為4，46，

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	總計
成績優(yōu)秀	12	4	16
成績不優(yōu)秀	38	46	84
總計	50	50	100

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，K²的觀測值：
K²=$\frac{100×（12×46-4×38）^{2}}{16×84×50×50}$≈4.762，
∵4.762＞3.841，∴在錯誤的概率不超過0.05的前提下認為：“成績優(yōu)秀”與教學方式有關(guān)．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一，解題時要注意排列組合知識的合理運用．