Question

定義：滿足方程f（x）=x的實數(shù)x稱為函數(shù)f（x）的“不動點”．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），滿足f（x+1）為偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+kx²在（0，4）上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意可得，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

=1，故有b=-2a，再根據(jù)函數(shù)
f（x）有且僅有一個不動點，可得ax² -2ax=x 只有一個解，由判別式等于零求得a、b的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由于函數(shù)g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x 的對稱軸為x=

1

1-2k

，且函數(shù)g（x）在（0，4）上是增函數(shù)，分①當k=

1

2

時、②當k＞

1

2

時、③當k＜

1

2

時三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得k的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）由題意可得，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

=1，∴b=-2a，
f（x）=ax² -2ax．
再根據(jù)函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點，可得ax² -2ax=x 只有一個解，
故△=（2a+1）²-0=0，∴a=-

1

2

．
（2）由于函數(shù)g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x，
①當k=

1

2

時，滿足g（x）=x在（0，4）上是增函數(shù)．
②當k＞

1

2

時，g（x）的對稱軸為x=

1

1-2k

，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，4）上是增函數(shù)，
可得

k＞0 1 1-2k ≤0

，解得k＞

1

2

．
③當k＜

1

2

時，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，4）上是增函數(shù)，可得

1

1-2k

≥4，
解得

3

8

≤k＜

1

2

．
綜上可得，k的范圍為[

3

8

，+∞）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應用，新定義，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．