Question

（本小題滿分12分）在等比數(shù)列中，

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意∴a_n＝2·2^n－1＝2ⁿ．                                          …4分

（Ⅱ）S_n＝＝2(2ⁿ－1)，                                      …6分

所以

S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ)－(1＋2＋…＋n)]，

設(shè)T_n＝2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ，                                      ①

則2T_n＝2²＋2·2³＋…＋n·2^n＋1，                               ②

①－②，得

－T_n＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝－n·2^n＋1＝(1－n)2^n＋1－2，

∴T_n＝(n－1)2^n＋1＋2，                                                …9分

∴S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(n－1)2^n＋1＋2]－n(n＋1)

＝(n－1)2^n＋2＋4－n(n＋1)．                                 …12分

【解析】本題考查等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和問題�？疾閷W(xué)生的計算能力和分析問題的能力，第一問利用基本量思想解決，第二問主抓數(shù)列的通項公式采用分組求和的方法求解.