Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值；
（2）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）利用向量夾角公式即可得出；
（3）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，∴61=$4{\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$3{\overrightarrow}^{2}$=$4×{4}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-3×3²，化為$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=6．
（2）$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{6}{4×3}$=$\frac{1}{2}$，解得θ=60°．
（3）|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}-2×6}$=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．