Question

1．已知2x²+y²=6x，則x²+y²的取值范圍是[0，9]．

Answer 1

分析 化方程為參數(shù)方程，代入要求的式子由三角函數(shù)和二次函數(shù)區(qū)間的值域可得．

解答 解：化2x²+y²=6x為2（x²-3x+$\frac{9}{4}$）+y²=$\frac{9}{2}$，
即2（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{2}$，即$\frac{（x-\frac{3}{2}）^{2}}{\frac{9}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}$=1
化為參數(shù)方程可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}（1+cosθ）}\\{y=\frac{3\sqrt{2}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，θ為參數(shù)，
代入可得x²+y²=$\frac{9}{4}$（1+cosθ）²+$\frac{9}{2}$sin²θ
=$\frac{9}{4}$cos²θ+$\frac{9}{2}$cosθ+$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{2}$sin²θ
=$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{2}$cosθ+$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{4}$sin²θ
=$\frac{9}{4}$（1-cos²θ）+$\frac{9}{2}$cosθ+$\frac{9}{2}$
=-$\frac{9}{4}$cos²θ+$\frac{9}{2}$cosθ+$\frac{27}{4}$
=-$\frac{9}{4}$（cos²θ-2cosθ+1）+9
=-$\frac{9}{4}$（cosθ-1）²+9
結(jié)合cosθ∈[-1，1]和二次函數(shù)的性質(zhì)可得：
當cosθ=1時，上式取最大值9，當cosθ=-1時，上式取最小值0，
故答案為：[0，9]．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)以及二次函數(shù)的最值，屬中檔題．