1.已知Rt△ABC,斜邊BC?α,點A∉α,AO⊥α,O為垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,則二面角A-BC-O的大小為60°.

分析 過O作OD⊥BC,垂足為D,連結(jié)AD,設(shè)OC=a,說明∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.設(shè)AO=a,在Rt△AOD中,求出二面角A-BC-O的大。

解答 解:如圖所示,在平面α內(nèi),過O作OD⊥BC,垂足為D,連結(jié)AD,設(shè)OC=a,
∵AO⊥α,BC?α,∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD,而AD?平面AOD,
∴AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.
由AO⊥α,OB?α,OC?α可知AO⊥OB,AO⊥OC,又∠ABO=30°,∠ACO=45°,∴設(shè)AO=a,則AC=$\sqrt{2}$a,AB=2a,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∴BC=$\sqrt{{AC}^{2}+{AB}^{2}}$=$\sqrt{6}a$,
∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{2a•\sqrt{2}a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$.
在Rt△AOD中,sin∠ADO=$\frac{AO}{AD}$=$\frac{a}{\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠ADO=60°,二面角A-BC-O的大小為:60°.
故答案為:60°.

點評 本題考查二面角的平面角的求法,作出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力以及計算能力.

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