Question

棱長(zhǎng)都相等的三棱錐（正四面體）A-BCD中，AO⊥平面BCD，垂足為O，設(shè)M是線段AO上一點(diǎn)，且∠BMC是直角，則

AM

MO

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：延長(zhǎng)BO，交CD于點(diǎn)N，可得BN⊥CD且N為CD中點(diǎn)，設(shè)正四面體ABCD棱長(zhǎng)為1，MO=x，在Rt△BOM中，根據(jù)BM=

2

2

，建立關(guān)于x的方程并解之，得x=

6

6

，再結(jié)合正四面體的高AO=

6

3

，得出MO=AM=

6

6

，從而得到所求的比值．

解答： 解：延長(zhǎng)BO，交CD于點(diǎn)N，可得BN⊥CD且N為CD中點(diǎn)
設(shè)正四面體ABCD棱長(zhǎng)為1，得
等邊△ABC中，BN=

3

2

，
∵AO⊥平面BCD，
∴O為等邊△BCD的中心，得BO=

3

3

，
Rt△ABO中，AO=

6

3

，
設(shè)MO=x，則Rt△BOM中，BM=

1 3 +x2

，
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=

2

2

BC，即

1 3 +x2

=

2

2

，
解之得x=

6

6

，
由此可得AM=AO-MO=

6

6

，
∴MO=AM=

6

6

，得

AM

MO

=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題給出正四面體ABCD高線上一點(diǎn)M，使得三角形BCM是等腰直角三角形，求M分高線的比值，著重考查了正四面體的性質(zhì)和線面垂直位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)等知識(shí)，屬于中檔題．