Question

若函數(shù)f（x）=x³+3|x-a|+a-2恰好有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：分別討論x＞a，x＜a的情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點的性質(zhì)，從而求出a的范圍．

解答： 解：x≥a時，f（x）=x³+3|x-a|+a-2=x³+3x-2a-2，
∴f′（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）_min=f（a）=a³+a-2＜0，解得：a＜1，
x＜a時，f（x）=x³-3x+4a-2，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞增，在（-1，1）遞減，
∴f（x）_極大值=f（-1）=4a＞0，解得：a＞0，
∴實數(shù)a的范圍是（0，1），
故答案為：（0，1）．

點評：本題考查了函數(shù)的零點問題，函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導數(shù)的應用，分類討論思想，是一道中檔題．