Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P滿足|

PF1

|+|

PF2

|=4，|

F1F2

|=2

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過定點(diǎn)（0，2）的直線l與橢圓交于不同的A、B，∠AOB=

π

2

，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由；
（3）由（2）問中，若∠AOB為銳角，求直線的斜率范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

2a=4 2c=2 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）存在經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)并且滿足∠AOB=

π

2

，設(shè)直線l為y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+y2=1，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．
（3）設(shè)直線l為y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+y2=1，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB是銳角，得x₁x₂+y₁y₂＞0，由此利用韋達(dá)定理能求出直線的斜率范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，
橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P滿足|

PF1

|+|

PF2

|=4，|

F1F2

|=2

3

，
∴

2a=4 2c=2 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）存在經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)并且滿足∠AOB=

π

2

，
設(shè)直線l為y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+y2=1，
并整理，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4-

20k2

4k2+1

，
∵∠AOB=

π

2

，∴

OA

2+

OB

2=

AB

2，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

12

4k2+1

+4-

20k2

4k2+1

=0，
解得k=±2，
∴直線l為y=2x+2或y=-2x+2．
（3）解：設(shè)直線l為y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+y2=1，
并整理，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4-

20k2

4k2+1

，
∵∠AOB是銳角，∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
∴

12

4k2+1

+4-

20k2

4k2+1

＞0，
解得-2＜k＜2，
∴直線的斜率范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線的斜率的求法，解題時(shí)要注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．