已知函數(shù)f(x)=cosxsin2x,下列結(jié)論中不正確的是(  )
分析:根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)或關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的公式,對(duì)A、B兩項(xiàng)加以驗(yàn)證,可得它們都正確.根據(jù)二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn),得f(x)=2sinx(1-sin2x),再換元:令t=sinx,得到關(guān)于t的三次函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)的最大值為
4
3
9
,故C不正確;根據(jù)函數(shù)周期性和奇偶性的定義加以驗(yàn)證,可得D項(xiàng)正確.由此可得本題的答案.
解答:解:對(duì)于A,因?yàn)閒(π+x)=cos(π+x)sin(2π+2x)=-cosxsin2x,
f(π-x)=cos(π-x)sin(2π-2x)=cosxsin2x,所以f(π+x)+f(π-x)=0,
可得y=f(x)的圖象關(guān)于(π,0)中心對(duì)稱(chēng),故A正確;
對(duì)于B,因?yàn)閒(
π
2
+x)=cos(
π
2
+x)sin(π+2x)=-sinx(-sin2x)=sinxsin2x,
f(
π
2
-x)=cos(
π
2
-x)sin(π-2x)=sinxsin2x,所以f(
π
2
+x)=f(
π
2
-x),
可得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
π
2
對(duì)稱(chēng),故B正確;
對(duì)于C,化簡(jiǎn)得f(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx(1-sin2x),
令t=sinx,f(x)=g(t)=2t(1-t2),-1≤t≤1,
∵g(t)=2t(1-t2)的導(dǎo)數(shù)g'(t)=2-6t2=2(1+
3
t)(1-
3
t)
∴當(dāng)t∈(-1,-
3
3
)時(shí)或t∈(
3
3
,1)時(shí)g'(t)<0,函數(shù)g(t)為減函數(shù);
當(dāng)t∈(-
3
3
3
3
)時(shí)g'(t)>0,函數(shù)g(t)為增函數(shù).
因此函數(shù)g(t)的最大值為t=-1時(shí)或t=
3
3
時(shí)的函數(shù)值,
結(jié)合g(-1)=0<g(
3
3
)=
4
3
9
,可得g(t)的最大值為
4
3
9

由此可得f(x)的最大值為
4
3
9
而不是
3
2
,故C不正確;
對(duì)于D,因?yàn)閒(-x)=cos(-x)sin(-2x)=-cosxsin2x=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).
因?yàn)閒(2π+x)=cos(2π+x)sin(4π+2x)=cosxsin2x=f(x),
所以2π為函數(shù)的一個(gè)周期,得f(x)為周期函數(shù).可得f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),得D正確.
綜上所述,只有C項(xiàng)不正確.
故選:C
點(diǎn)評(píng):本題給出三角函數(shù)式,研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性.著重考查了三角恒等變換公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性等知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x+
1
x
|,x≠0
0     x=0
,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是( 。
A、b<-2且c>0
B、b>-2且c<0
C、b<-2且c=0
D、b≥-2且c=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;
(2)已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,滿(mǎn)足sinB-2sinA=0且c=3,f(C)=0,求a、b的值.

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已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,g(x)=x2-2bx+4,若對(duì)任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( 。

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已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)的值域?yàn)椋ā 。?/div>

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已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿(mǎn)足f(0)≥2,f(1)≥2,方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(4,+∞)
(4,+∞)

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