Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中不正確的是（　　）

• A．y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱
• B．y=f(x)的圖象關于x=

  π

  2

  對稱
• C．f(x)的最大值為

  3

  2

• D．f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)圖象關于某點中心對稱或關于某條直線對稱的公式，對A、B兩項加以驗證，可得它們都正確．根據(jù)二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)的關系化簡，得f（x）=2sinx（1-sin²x），再換元：令t=sinx，得到關于t的三次函數(shù)，利用導數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的最大值為

4 3

9

，故C不正確；根據(jù)函數(shù)周期性和奇偶性的定義加以驗證，可得D項正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對于A，因為f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=-cosxsin2x，
f（π-x）=cos（π-x）sin（2π-2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π-x）=0，
可得y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱，故A正確；
對于B，因為f（

π

2

+x）=cos（

π

2

+x）sin（π+2x）=-sinx（-sin2x）=sinxsin2x，
f（

π

2

-x）=cos（

π

2

-x）sin（π-2x）=sinxsin2x，所以f（

π

2

+x）=f（

π

2

-x），
可得y=f（x）的圖象關于直線x=

π

2

對稱，故B正確；
對于C，化簡得f（x）=cosxsin2x=2cos²xsinx=2sinx（1-sin²x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1-t²），-1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1-t²）的導數(shù)g'（t）=2-6t²=2（1+

3

t）（1-

3

t）
∴當t∈（-1，-

3

3

）時或t∈（

3

3

，1）時g'（t）＜0，函數(shù)g（t）為減函數(shù)；
當t∈（-

3

3

，

3

3

）時g'（t）＞0，函數(shù)g（t）為增函數(shù)．
因此函數(shù)g（t）的最大值為t=-1時或t=

3

3

時的函數(shù)值，
結(jié)合g（-1）=0＜g（

3

3

）=

4 3

9

，可得g（t）的最大值為

4 3

9

．
由此可得f（x）的最大值為

4 3

9

而不是

3

2

，故C不正確；
對于D，因為f（-x）=cos（-x）sin（-2x）=-cosxsin2x=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．
因為f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
所以2π為函數(shù)的一個周期，得f（x）為周期函數(shù)．可得f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，得D正確．
綜上所述，只有C項不正確．
故選：C

點評：本題給出三角函數(shù)式，研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性．著重考查了三角恒等變換公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的對稱性等知識，屬于中檔題．