Question

5．已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上且滿足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$，則△MF₁F₂的面積為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由橢圓性質(zhì)和余弦定理推導(dǎo)出cos∠F₁MF₂=90°，由此利用橢圓定義和定弦定理能求出△MF₁F₂的面積．

解答 解：∵點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的焦點(diǎn)，
點(diǎn)M在橢圓C上且滿足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$，
∴$|\overrightarrow{M{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{M{F}_{2}}{|}^{2}$+2|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|cos∠F₁MF₂=12，①
由余弦定理得$|\overrightarrow{M{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{M{F}_{2}}{|}^{2}$-2$|\overrightarrow{M{F}_{1}}|•|\overrightarrow{M{F}_{2}}|•cos∠{F}_{1}M{F}_{2}$=12，②
聯(lián)立①②，得：
cos∠F₁MF₂=90°，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a=4，
∴$|M{F}_{1}{|}^{2}+|M{F}_{2}{|}^{2}-2|M{F}_{1}|•|M{F}_{2}|$=16，
∴|MF₁|•|MF₂|=$\frac{1}{2}$（16-12）=2，
∴△MF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|=$\frac{1}{2}$×2=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、正弦定理、余弦定理的合理運(yùn)用．