Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，圓Q過O點與F點，且圓心Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為$\frac{3}{2}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知拋物線上一點M（t，4），過點M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷直線DE是否過定點？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點坐標(biāo)，結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p，則拋物線方程可求；
（2）由（1）求出M的坐標(biāo)，設(shè)出直線DE的方程x=my+t，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程后D，E兩點縱坐標(biāo)的和與積，利用$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{ME}=0$得到t與m的關(guān)系，進(jìn)一步得到DE方程，由直線系方程可得直線DE所過定點．

解答 解：（1）∵$F（\frac{p}{2}，0）$，∴圓心Q在線段OF的垂直平分線$x=\frac{p}{4}$上，
又∵準(zhǔn)線方程為：$x=-\frac{p}{2}$，∴$\frac{p}{4}-（-\frac{p}{2}）=\frac{3}{2}$，得p=2，
∴拋物線C：y²=4x；
（2）由（1）可得點M（4，4），可得直線DE的斜率不為0，
設(shè)直線DE的方程為：x=my+t，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，得y²-4my-4t=0，
則△=16m²+16t＞0 ①．
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∵$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{ME}=（{x_1}-4，{y_1}-4）•（{x_2}-4，{y_2}-4）$
=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16
=$\frac{y_1^2}{4}-\frac{y_2^2}{4}-4（\frac{y_1^2}{4}+\frac{y_2^2}{4}）+16+{y_1}{y_2}-4（{y_1}+{y_2}）+16$
=$\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}-{（{y_1}+{y_2}）^2}+3{y_1}{y_2}-4（{y_1}+{y_2}）+32$
=t²-16m²-12t+32-16m=0，
即t²-12t+32=16m²+16m，得：（t-6）²=4（2m+1）²，
∴t-6=±2（2m+1），即：t=4m+8或t=-4m+4，
代入①式檢驗均滿足△＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．
∴直線過定點（8，-4），（定點（4，4）不滿足題意，故舍去）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，屬中檔題．