Question

設{a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），S_n是其前n項和．記，n∈N^*，其中c為實數(shù)．
（1）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列，證明：（k，n∈N^*）；
（2）若{b_n}是等差數(shù)列，證明：c=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）寫出等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式，由b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列得到首項和公差的關系，代入前n項和公式得到S_n，在前n項和公式中取n=nk可證結論；
（2）把S_n代入中整理得到b_n=，由等差數(shù)列的通項公式是a_n=An+B的形式，說明，由此可得到c=0．
解答：證明：（1）若c=0，則a_n=a₁+（n-1）d，，．
當b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列時，則，
即：，得：d²=2ad，又d≠0，故d=2a．
因此：，，．
故：（k，n∈N*）．
（2）
=
=．  ①
若{b_n}是等差數(shù)列，則{b_n}的通項公式是b_n=A_n+B型．
觀察①式后一項，分子冪低于分母冪，
故有：，即，而，
故c=0．
經(jīng)檢驗，當c=0時{b_n}是等差數(shù)列．
點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項和，考查了學生的運算能力，解答此題的關鍵是理解并掌握非常數(shù)等差數(shù)列的通項公式是關于n的一次函數(shù)，此題是中檔題．